Una mente maravillosa y el equilibrio de los juegos
Cincuenta años después de que John von Neumann y Oskar Morgenstern publicaran su libro “Theory of Games and Economic Behavior” el premio Nobel de Economía recayó finalmente en tres estudiosos de la Teoría de Juegos. De los tres, el más mediático es sin duda John Nash, gracias a la popularidad que le proporcionó la película “Una Mente Maravillosa”, que recibió cuatro Oscar de Hollywood, y que trata de la dramática y azarosa vida de John Forbes Nash.
Nash fue un intelectual con una asombrosa capacidad para el análisis matemático. Su facilidad de cálculo era tan notoria, que fue contratado por el Pentágono para descifrar claves encriptadas por algoritmos de gran dificultad. Tal vez esta actividad le produjo una esquizofrenia paranoica que le llevó a ser internado repetidas veces en establecimientos psiquiátricos. Sufría alucinaciones y creía ver en los periódicos mensajes de espías, o experimentaba delirios en los que era perseguido por seres extraños.
En consecuencia, fue obligado a renunciar a su cátedra cuando tenía 31 años. Sin embargo, quince años más tarde, en 1974, consiguió reincorporarse a la enseñanza, gracias al apoyo de su esposa, su exalumna, la salvadoreña Alicia Lardé. Nash ha sido de las pocas personas que se han casado dos veces con la misma mujer y fue en su compañía como murieron ambos en un accidente de tráfico en el del aeropuerto de Nueva Jersey. Venían de Oslo, donde Nash había acudido a recibir el prestigioso premio Abel, considerado como el Nobel de las Matemáticas.
La teoría de juegos
En 1944 von Neumann y Morgenstern iniciaron el análisis de las decisiones tomadas entre distintos participantes, de forma que los resultados dependiesen no solo de la estrategia seguida por uno de ellos, sino que esos resultados dependiesen a su vez de las estrategias de los demás
Pudiera confundir el hecho de llamar “juego” a lo que en realidad debe definirse como análisis estratégico. El póker es un clásico ejemplo de juego de suma cero, donde lo que gana uno lo pierde otro y en el que no existe colaboración posible entre los participantes.
En el libro pionero que comentamos solo se estudian los juegos de suma cero entre dos personas, o de varias personas que decidiesen cooperar entre ellas. La diferencia fundamental que aporta Nash consiste en considerar la existencia de juegos no cooperativos entre varias personas y de demostrar que siempre existe en ellos al menos una solución estable, si los participantes son racionales y conocen los objetivos suyos y los de todos los demás.
Desde los años cincuenta se ha ido ampliando el inventario de los posibles juegos y además de los de suma cero, existen los de suma positiva si los elementos cooperan, o de suma negativa, como puede ser el caso de una carrera de armamentos, o una guerra de precios entre empresas. Sin embargo, esta no es la única distinción posible y podemos diferenciarlos en función de que los jugadores tomen sus decisiones simultáneamente o de forma secuencial; si puede haber comunicación entre los participantes o no; si el mismo juego va a repetirse, o solo se realizará una sola vez; si todos los miembros tienen información completa de los objetivos de los demás, o existe información asimétrica entre ellos; y si nos encontramos ante un juego de colaboración o de competición.
La Teoría de Juegos se ha aplicado, entre otros, a campos tan variados como la ecología, la política, la biología, las finanzas, las relaciones internacionales, los conflictos militares y como no podía ser menos a la dinámica empresarial. Desde 1994 al menos diez premiados con el Nobel de Economía se han apoyado en la teoría de juegos, diseñando modelos que han recibido nombres tan sugestivos como “la caza del venado”, “el juego del gallina”, “el Cortés, o quema de las naves”, “el juego de la confianza”, “la subasta del dólar”, “el duelo entre tres”, “halcones y palomas” o “la injusticia del rey Lear”.
Dentro de este campo, la aportación fundamental de Nash consiste en lo que se ha dado en llamar “El Equilibrio de Nash”; descubrimiento que fue la base de su tesis doctoral, que, por supuesto aprobó, cuando sólo tenía veinte años.
El equilibrio de Nash y el dilema del prisionero
Lo que demuestra Nash es que, en cualquier juego no cooperativo, sin límite de jugadores ni de preferencias, que no se comunican entre ellos y en el que cada uno de los participantes elige una estrategia pura, existe siempre al menos una solución de equilibrio. Es decir, una posición en la que a ninguno le conviene cambiar de estrategia, pues cualquiera que se aparte de esa posición de equilibrio se encontraría en una situación peor de la que partía. Para visualizar el equilibrio de Nash con un ejemplo nos serviremos del problema más popular y más discutido de la teoría de juegos, que es conocido como “El Dilema del Prisionero”.
Se suele representar en forma de una matriz de pagos, donde se determinan los resultados que obtendría cada uno de los dos delincuentes, a los que después de ser convenientemente aislados, se les ofrece un trato favorable si delatan a su compañero. Cada uno de ellos puede decidir cooperar con la policía, a lo que llamaremos DELATAR, o permanecer en silencio, que llamaremos CALLAR. Si uno traiciona al compañero y el otro permanece callado, el delator queda libre y al denunciado le caen quince años de prisión. Si los dos se delatan mutuamente, por haber colaborado para resolver un delito, se les reduce la pena a seis años de cárcel para cada uno, y si ambos callan, como no se les puede condenar por nada grave, se les aplicará una pena menor, digamos un año de prisión a cada uno, acusándoles por ejemplo de un delito de tenencia ilícita de armas.
Ésta sería la matriz de pagos, aclarando que de los pares de resultados de cada casilla los de la izquierda corresponden al Sospechoso 1 y los de la derecha al Sospechoso 2.
SOSPECHOSO 2
DELATAR CALLAR
DELATAR –6, –6 0, –15
SOSPECHOSO 1
CALLAR –15, –0 –1, –1
El equilibrio de Nash consiste en este caso en delatarse mutuamente, pues, aunque la mejor solución sería que ambos permaneciesen callados –el honor entre ladrones- al no jugarse más que una sola vez y al no haber lugar a represalias futuras, la desconfianza en su colega le lleva a cada uno a no sufrir el riesgo inasumible de pasarse 15 años a la sombra. Nótese que el cambiar de la posición de equilibrio conduciría al que cambiase de estrategia a tener que soportar una condena de más del doble de lo que con su estrategia de equilibrio se asegura.
Nadie ha discutido la importancia de la demostración del equilibrio de Nash; sin embargo, su modelo presenta dos inconvenientes, el primero consiste en que, aunque siempre hay una solución, en ocasiones puede haber algunas más, y el segundo en que se supone que todos los participantes actúan con una racionalidad perfecta y además disponen de información completa, conociendo los objetivos y alternativas de todos los demás. A solucionar estas premisas se dedicaron los otros dos laureados de 1994 Reinhard Selten y John Harsany que compartieron con Nash el Nobel de aquel año.
Para terminar, valga la anécdota que contaba el propio Nash con motivo de una conferencia que dio sobre juegos no cooperativos con su habitual y sofisticado lenguaje matemático, y utilizando conceptos apenas asequibles a los pocos iniciados en la materia. El auditorio estaba sorprendentemente a rebosar, a lo que Nash comentó: “Me parece que este público se ha debido equivocar, pues parece que creían que se iban a encontrar con Russell Crowe”.
Para conocer un poco más a fondo sobre cada uno de los galardonados recuerda que puedes consultarlo todo en el libro ‘Una corona de laurel naranja’ o entrando al siguiente blog. José Carlos Gómez Borrero
